POLYNOMIT
TEORIA
SISÄLTÖ
2.
POLYNOMIEN YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKU
a) KAHDEN LUVUN SUMMAN JA EROTUKSEN TULO
4.
POLYNOMIN JAKAMINEN TEKIJÖIHIN
a) KÄYTTÄMÄLLÄ KERTOLASKUN OSITTELULAKIA
KÄÄNTEISESTI
b) BINOMIN NELIÖN MUISTIKAAVAN AVULLA
c) KAHDEN LUVUN SUMMAN JA EROTUKSEN TULON
e) TOISEN ASTEEN POLYNOMIN JAKAMINEN TEKIJÖIHIN
5.2 MONOMIN JAKAMINEN MONOMILLA
5.3 USEAMPITERMISEN POLYNOMIN JAKAMINEN MONOMILLA
5.4
JAKAJANA USEAMPITERMINEN POLYNOMI
a) TEKIJÖIHIN JAKAMINEN JA SIEVENTÄMINEN
SUPISTAMALLA
1. MÄÄRITTELY JA NIMITYKSIÄ
Muuttujan x polynomi P(x) on muotoa knxn
+ kn-1xn-1 + … + k2x2 + k1x
+ k0 oleva lauseke, missä n Î N ja k0, k1, … kn ovat vakioita.
Polynomi on siis
summalauseke, joka koostuu termeistä.
(Esimerkiksi polynomin –2x4 + 3x2 - 5x + 9 termit ovat –2x4, 3x2, -5x ja 9.)
Termissä on kerroin ja muuttujaosa.
(Esimerkiksi termin –2x4
kerroin on –2 ja muuttujaosa x4.)
Termin
asteluku on sama kuin siinä olevan
muuttujan eksponentti.
(Esimerkiksi termin –2x4
asteluku on 4.)
Polynomin asteluku on sama kuin suurin polynomissa esiintyvä muuttujan eksponentti.
(Esimerkiksi polynomi 8x5
+ 3x4 – x on 5.
asteen polynomi.)
Termit kirjoitetaan polynomissa asteluvun
mukaiseen järjestykseen korkeinta astetta olevasta termistä lähtien.
(Esimerkiksi termeistä –4x,
7x3, -2 ja 6x2 koostuva
polynomi kirjoitetaan muotoon 7x3 + 6x2 – 4x - 2 .)
Vakiotermi (nollannen asteen termi) ei sisällä
muuttujaa.
(Esimerkiksi polynomin 5x2
- 4x - 6 vakiotermi on -6 .)
Polynomi, jossa on vain yksi
termi, on nimeltään monomi.
(Esim. 9x4)
Polynomi, jossa on kaksi
termiä, on nimeltään binomi.
(Esim. –5x + 3)
Polynomi, jossa on kolme
termiä, on nimeltään trinomi.
(Esim. x3 - 6x2 + 7)
Muista polynomeista käytetään pelkästään
yleisnimitystä polynomi.
Polynomin vastapolynomi saadaan muuttamalla
polynomin kaikkien termien etumerkit päinvastaisiksi.
(Esimerkiksi polynomin 3x2
- 6x + 1 vastapolynomi on
–3x2 + 6x - 1 .)
Vastapolynomien summa on nolla.
2. POLYNOMIEN YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKU
Yhteen- ja vähennyslaskussa
voidaan yhdistää yhdeksi termiksi sellaisia termejä, joissa on sama
muuttujaosa. Tällaisia termejä kutsutaan samanmuotoisiksi termeiksi.
(Esimerkiksi 5x2 + 4x2 = (5+4)x2
= 9x2 )
Esim. 1 Laske polynomien –x3 + 4x2
+ 7x - 5 ja 6x3 - x2 + 1 summa.
(-x3 + 4x2 + 7x - 5) + (6x3 - x2 + 1)
= -x3 + 4x2 +
7x -5 + 6x3 - x2 + 1
= (-1+6)x3 + (4-1)x2 + 7x + (-5+1)
= 5x3 + 3x2 + 7x - 4
Esim. 2 Laske polynomien 3x2 - 5x + 2 ja –6x2 - x + 1 erotus.
(3x2 - 5x + 2) - (-6x2 - x + 1)
= 3x2 - 5x + 2 + 6x2 + x
- 1
= (3+6)x2
+ (-5+1)x + (2-1)
= 9x2 - 4x + 1
3. POLYNOMIEN KERTOLASKU
Polynomien kertominen termeittäin tapahtuu
kertolaskun osittelulain mukaan.
a(b+c) = ab + ac
(a+b)c = ac + bc
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
Esim. 1 Kerro monomilla 3x2
trinomi 5x4 - 2x3 + x .
Esim. 2 Laske polynomien 2a - 3 ja a3 - 6a2 - 1 tulo.
Polynomeja voidaan myös
kertoa allekkain. Samanmuotoiset termit tulevat tällöin allekkain.
Esim. Laske polynomien x + 2 ja x3 + 2x + 4 tulo.
(x + 2)(x3 + 2x + 4) = x4 + 2x3
+ 2x2 + 8x + 8
3.2 KERTOLASKUN MUISTIKAAVAT
a) KAHDEN LUVUN SUMMAN JA EROTUKSEN TULO
(a + b)(a - b) = aa - ab + ba - bb = a2 - ab
+ ab - b2 = a2 - b2
Esim. 1 (x + 4)(x - 4) = x2 - 42 = x2 -16
Esim. 2 (3x - 5)(3x + 5) = (3x)2 - 52 = 9x2 - 25
(a + b)2 =
(a + b)(a + b) =aa + ab + ba + bb =a2 + 2ab + b2
Esim. (4x + 3)2 = (4x)2 +
2×4x×3
+ 32 = 16x2 + 24x + 9
(a - b)2 =(a -
b)(a - b) = aa - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2
Esim. (3x - 5y)2 =
(3x)2 - 2×3x×5y + (5y)2
= 9x2 - 30xy + 25y2
3.3 PASCALIN KOLMIO
Kun lasketaan binomin a + b
potensseja, niin saadaan
(a + b)0 =
1 (a+b¹0)
(a +b)1 =
a + b
(a + b)2 =
a2 + 2ab + b2
(a + b)3 =
(a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b +
2ab2 + b3= a3
+ 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 =
a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +
a4
jne
Termien kertoimista voidaan muodostaa ns. Pascalin kolmio
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4
1
1
5 10 10 5 1
jne
Jokaisen vaakarivin reunoille tulee luku 1 ja muut
luvut saadaan laskemalla yhteen edellisen vaakarivin vierekkäiset luvut.
Riveillä olevia kertoimia käyttäen voidaan laskea nopeasti binomin potensseja.
Esim.
(Kertoimet 1, 5, 10, 10, 5,
1 saadaan Pascalin kolmiosta. Eksponentit saadaan x:lle ja y:lle kussakin
termissä siten, että x:n eksponentti pienenee yhdellä ja y:n eksponentti
suurenee yhdellä seuraavaa termiä kirjoitettaessa. Eksponenttien summa
jokaisessa termissä on 5.)
Pascalin kolmio on saanut nimensä ranskalaisen
matemaatikon Blaise Pascalin (1623-1662) mukaan.
4. POLYNOMIN JAKAMINEN
TEKIJÖIHIN
Polynomin jakaminen
tekijöihin tarkoittaa polynomien kertolaskulle käänteistä toimenpidettä:
polynomin kirjoittamista tulomuotoon.
Seuraavissa esimerkeissä on
käsitelty muutamia perusmenetelmiä tekijöihin jakamiseksi. (Nämä eivät
kuitenkaan riitä kaikkien polynomien jaollisuuden tutkimiseen, vaan tarvitaan
myös monimutkaisempia menetelmiä.)
a) käyttämällä kertolaskun osittelulakia
käänteisesti
Esim. 1 6x5y2 - 9x2y = 2×3×x2×x3×y×y - 3×3×x2y =3x2y(2x3y
- 3)
(Etsitään polynomin termeistä yhteiset tekijät 3, x2
ja y.)
Esim. 2 x3 + 6x2 +
x + 6 = x2(x + 6) + (x + 6) = (x + 6)(x2 + 1)
b) binomin neliön muistikaavan avulla
Esim.
36x2 - 12x + 1 =
(6x)2 - 2×6x×1 + 12
= (6x - 1)2
= (6x - 1)(6x - 1)
c) kahden luvun summan ja erotuksen tulon
muistikaavan avulla
Esim. 49 - 9x2 = 72 - (3x)2 = (7 - 3x)(7 + 3x)
Esim. a3 - 3a2 + 3a - 1 =
a3 + 3a2×(-1) + 3a×(-1)2 + (-1)3
= [a +
(-1)]3 = (a - 1)3
e)
toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin polynomin nollakohtien
avulla
Jos yhtälön ax2 + bx + c = 0 ratkaisut
ovat x1 ja x2, niin
ax2 + bx +
c = a(x - x1)(x - x2) .
Esim. 1
Jaettaessa tekijöihin polynomia 2x2 - 4x - 6 ratkaistaan yhtälö
2x2 - 4x - 6 = 0.
Ratkaisujen 3 ja –1 avulla
saadaan:
(Tarkistuksen voi suorittaa
tekemällä kertolaskun, jolloin saadaan alkuperäinen polynomi.)
Esim. 2 Jaa tekijöihin polynomi –3x2
+ 6x - 3 .
Ratkaistaan yhtälö –3x2 + 6x - 3 = 0 .
Tällä kertaa yhtälöllä on vain yksi ratkaisu, ts. x1
= x2 = 1 .
-3x2 + 6x - 3 = -3(x - 1)(x - 1)
(Huom. Jos toisen asteen yhtälöllä ei ole ratkaisua
reaalilukujen joukossa, niin vastaavaa polynomia ei voida jakaa ensimmäisen
asteen tekijöihin.)
Polynomi P(x) on jaollinen
polynomilla Q(x), jos 
, missä R(x) on polynomi.
Esim. Polynomi x2-9 on jaollinen polynomilla x+3, koska
Jos polynomi P(x) ei ole jaollinen polynomilla Q(x),
niin saadaan
, missä S(x) on
jakojäännös.
Esim.
Jakaminen voidaan suorittaa
jakokulmassa. Jakojäännökseksi jää 1.
5.2 MONOMIN JAKAMINEN MONOMILLA
Esim. 1
(Supistetaan 5:llä, a:lla ja b:llä.)
Esim. 2
(Supistetaan 7:llä, x4:llä ja y:llä.)
5.3
USEAMPITERMISEN POLYNOMIN JAKAMINEN MONOMILLA
Jakaminen suoritetaan siten,
että jokainen polynomin termeistä jaetaan monomilla.
Esim.
Jaettavana oleva polynomi
voidaan myös ensin kirjoittaa tulomuotoon. Sen jälkeen lauseke sievennetään
supistamalla.
Esim.
5.4 JAKAJANA USEAMPITERMINEN POLYNOMI
a) Tekijöihin jakaminen ja
sieventäminen supistamalla
Esim.
Esim. 1 
Jaa polynomi x2 - 4x - 5 polynomilla x + 1.
Osamäärän ensimmäinen termi
saadaan jakamalla jaettavan ensimmäinen termi x2 jakajan
ensimmäisellä termillä x. Tulokseksi saadaan x. Kerrotaan tällä jakaja x+1 ja
kirjoitetaan saatu polynomi x2+x jaettavan alle ja vähennetään se
jaettavasta (lisätään vastapolynomi -x2-x).
Osamäärän toinen termi
saadaan jakamalla jakojäännöksen ensimmäinen termi –5x jakajan ensimmäisellä
termillä x. Tulokseksi saadaan –5. Jatketaan kuten edellä.
Jakojäännökseksi tulee 0,
joten jako meni tasan. Polynomi x2-4x-5 on jaollinen polynomilla x+1. Jakolaskun
tulos on x-5. Polynomi x2-4x-5 voidaan esittää tekijöiden
tulona (x+1)(x-5).
Esim. 2 Jaa polynomi 2x3 - x + 1 polynomilla x - 2.
Tällä kertaa jaettavasta
puuttuu toisen asteen termi ja kirjoitettaessa polynomia jakokulmaan jätetään
siihen kohtaan tyhjä tila. (Jakolaskun edetessä alemmille riveille tulee toisen
asteen termejä.)
Jako ei mennyt tasan.
Jakojäännös on 15.
