POLYNOMIT

 

TEORIA

 

 

SISÄLTÖ

 

1.   MÄÄRITTELY JA NIMITYKSIÄ

 

2.   POLYNOMIEN YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKU

 

3.   POLYNOMIEN KERTOLASKU

 

      3.1   TERMEITTÄIN KERTOMINEN

 

      3.2   KERTOLASKUN MUISTIKAAVAT

 

              a)   KAHDEN LUVUN SUMMAN JA EROTUKSEN TULO

 

              b)   BINOMIN NELIÖ

 

      3.3   PASCALIN KOLMIO

 

4.   POLYNOMIN JAKAMINEN TEKIJÖIHIN

 

       a)   KÄYTTÄMÄLLÄ KERTOLASKUN OSITTELULAKIA KÄÄNTEISESTI

 

       b)   BINOMIN NELIÖN MUISTIKAAVAN AVULLA

 

c)   KAHDEN LUVUN SUMMAN JA EROTUKSEN TULON

      MUISTIKAAVAN  AVULLA

 

       d)   PASCALIN KOLMION AVULLA

 

e)  TOISEN ASTEEN POLYNOMIN JAKAMINEN TEKIJÖIHIN

     POLYNOMIN NOLLAKOHTIEN AVULLA

 

5.   POLYNOMIEN JAKOLASKU

 

      5.1   JAOLLISUUS

 

      5.2   MONOMIN JAKAMINEN MONOMILLA

 

      5.3   USEAMPITERMISEN POLYNOMIN JAKAMINEN MONOMILLA

 

5.4   JAKAJANA USEAMPITERMINEN POLYNOMI

 

       a)   TEKIJÖIHIN JAKAMINEN JA SIEVENTÄMINEN SUPISTAMALLA

 

       b)   JAKOKULMASSA JAKAMINEN

 

 

 

1.   MÄÄRITTELY JA NIMITYKSIÄ

 

Muuttujan x polynomi P(x) on muotoa knxn + kn-1xn-1 + … + k2x2 + k1x + k0 oleva lauseke, missä n Î N ja k0, k1, … kn ovat vakioita.

 

Polynomi on siis summalauseke, joka koostuu termeistä.

(Esimerkiksi polynomin –2x4  + 3x2  - 5x + 9 termit ovat –2x4,  3x2,  -5x ja 9.)

 

Termissä on kerroin ja muuttujaosa.

(Esimerkiksi termin –2x4 kerroin on –2 ja muuttujaosa x4.)

 

Termin asteluku on sama kuin siinä olevan muuttujan eksponentti.

(Esimerkiksi termin –2x4 asteluku on 4.)

 

Polynomin asteluku on sama kuin suurin polynomissa esiintyvä muuttujan eksponentti.

(Esimerkiksi polynomi 8x5  +  3x4  x on 5. asteen polynomi.)

 

Termit kirjoitetaan polynomissa asteluvun mukaiseen järjestykseen korkeinta astetta olevasta termistä lähtien.

(Esimerkiksi termeistä –4x, 7x3, -2 ja 6x2 koostuva polynomi kirjoitetaan muotoon 7x3 + 6x2 – 4x - 2 .)

 

Vakiotermi (nollannen asteen termi) ei sisällä muuttujaa.

(Esimerkiksi polynomin 5x2 - 4x - 6 vakiotermi on -6 .)

 

Polynomi, jossa on vain yksi termi, on nimeltään monomi.

(Esim.  9x4)

 

Polynomi, jossa on kaksi termiä, on nimeltään binomi.

(Esim. –5x + 3)

 

Polynomi, jossa on kolme termiä, on nimeltään trinomi.

(Esim. x3 - 6x2 + 7)

 

Muista polynomeista käytetään pelkästään yleisnimitystä polynomi.

 

Polynomin vastapolynomi saadaan muuttamalla polynomin kaikkien termien etumerkit päinvastaisiksi.

(Esimerkiksi polynomin 3x2 - 6x + 1 vastapolynomi on

 –3x2 + 6x - 1 .)

Vastapolynomien summa on nolla.

 

 

2.   POLYNOMIEN YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKU

 

Yhteen- ja vähennyslaskussa voidaan yhdistää yhdeksi termiksi sellaisia termejä, joissa on sama muuttujaosa. Tällaisia termejä kutsutaan samanmuotoisiksi termeiksi.

 

(Esimerkiksi  5x2 + 4x2 = (5+4)x2 = 9x2  )

 

Esim. 1    Laske polynomien –x3 + 4x2 + 7x - 5 ja 6x3 - x2 + 1 summa.

 

    (-x3 + 4x2 + 7x - 5) + (6x3 - x2 + 1)

 

= -x3 + 4x2 + 7x -5 + 6x3 - x2 + 1

 

= (-1+6)x3 + (4-1)x2 + 7x + (-5+1)

 

= 5x3 + 3x2 + 7x - 4

 

Esim. 2   Laske polynomien 3x2 - 5x + 2 ja –6x2 - x + 1 erotus.

 

   (3x2 - 5x + 2) - (-6x2 - x + 1)

 

= 3x2 - 5x + 2 + 6x2 + x - 1

 

= (3+6)x2  + (-5+1)x + (2-1)

 

= 9x2 - 4x + 1

 

 

3.   POLYNOMIEN KERTOLASKU

 

3.1   TERMEITTÄIN KERTOMINEN

 

Polynomien kertominen termeittäin tapahtuu kertolaskun osittelulain mukaan.

 

a(b+c) = ab + ac

(a+b)c = ac + bc

(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

 

Esim. 1   Kerro monomilla 3x2 trinomi 5x4 - 2x3 + x .

 

 

Esim. 2   Laske polynomien 2a - 3 ja a3 - 6a2 - 1 tulo.

 

 

 

 

Polynomeja voidaan myös kertoa allekkain. Samanmuotoiset termit tulevat tällöin allekkain.

 

Esim.  Laske polynomien x + 2 ja x3 + 2x + 4 tulo.

 

 

 

(x + 2)(x3 + 2x + 4) = x4 + 2x3 + 2x2 + 8x + 8

 

 

3.2   KERTOLASKUN MUISTIKAAVAT

 

a)   KAHDEN LUVUN SUMMAN JA EROTUKSEN TULO

 

(a + b)(a - b) = aa - ab + ba - bb = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2

 

Tekstikehys: (a + b)(a - b) = a2 - b2

 

 

 

Esim. 1     (x + 4)(x - 4) = x2 - 42 = x2  -16

 

 

Esim. 2     (3x - 5)(3x + 5) = (3x)2 - 52 = 9x2 - 25

 

 

b)   BINOMIN NELIÖ

 

(a + b)2 = (a + b)(a + b) =aa + ab + ba + bb =a2 + 2ab + b2

 

 

Tekstikehys: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 

 

 

Esim.     (4x + 3)2 = (4x)2 + 2×4x×3 + 32 = 16x2 + 24x + 9

 

 

(a - b)2 =(a - b)(a - b) = aa - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2

 

 

Tekstikehys: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

 

 

 

 

Esim.     (3x - 5y)2 = (3x)2 - 2×3x×5y + (5y)2 = 9x2 - 30xy + 25y2

 

 

3.3   PASCALIN KOLMIO

 

Kun lasketaan binomin a + b potensseja, niin saadaan

 

(a + b)0 = 1             (a+b¹0)

 

(a +b)1 = a + b

 

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

 

             = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3=  a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

 

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + a4

 

jne

 

Termien kertoimista voidaan muodostaa ns. Pascalin kolmio

 

                                             1

                                          1     1

                                      1     2     1

                                   1     3     3     1

                                1     4     6     4     1

                              1     5   10   10   5     1

 

                                            jne

 

Jokaisen vaakarivin reunoille tulee luku 1 ja muut luvut saadaan laskemalla yhteen edellisen vaakarivin vierekkäiset luvut. Riveillä olevia kertoimia käyttäen voidaan laskea nopeasti binomin potensseja.

 

Esim.

 

 

(Kertoimet 1, 5, 10, 10, 5, 1 saadaan Pascalin kolmiosta. Eksponentit saadaan x:lle ja y:lle kussakin termissä siten, että x:n eksponentti pienenee yhdellä ja y:n eksponentti suurenee yhdellä seuraavaa termiä kirjoitettaessa. Eksponenttien summa jokaisessa termissä on 5.)

 

Pascalin kolmio on saanut nimensä ranskalaisen matemaatikon Blaise Pascalin (1623-1662) mukaan.

 

 

4.   POLYNOMIN JAKAMINEN TEKIJÖIHIN

 

Polynomin jakaminen tekijöihin tarkoittaa polynomien kertolaskulle käänteistä toimenpidettä: polynomin kirjoittamista tulomuotoon.

Seuraavissa esimerkeissä on käsitelty muutamia perusmenetelmiä tekijöihin jakamiseksi. (Nämä eivät kuitenkaan riitä kaikkien polynomien jaollisuuden tutkimiseen, vaan tarvitaan myös monimutkaisempia menetelmiä.)

 

a)   käyttämällä kertolaskun osittelulakia käänteisesti

 

 

Tekstikehys: ab + ac =a(b + c)

 

 

 

Esim. 1      6x5y2 - 9x2y = 2×3×x2×x3×y×y - 3×3×x2y =3x2y(2x3y - 3)

 

(Etsitään polynomin termeistä yhteiset tekijät 3, x2 ja y.)

 

Esim. 2    x3 + 6x2 + x + 6 = x2(x + 6) + (x + 6) = (x + 6)(x2 + 1)

 

 

b)   binomin neliön muistikaavan avulla

 

 

Tekstikehys:   a2 + 2ab + b2  = (a + b)2

 

 

 

 

Tekstikehys:    a2 - 2ab + b2  = (a - b)2

 

 

 

Esim.     36x2  - 12x + 1 = (6x)2 - 2×6x×1 + 12 = (6x - 1)2

           

= (6x - 1)(6x - 1)

 

 

c)   kahden luvun summan ja erotuksen tulon muistikaavan avulla

 

 

Tekstikehys: a2 - b2 = (a + b)(a - b)

 

 

 

Esim.    49 - 9x2 = 72 - (3x)2 = (7 - 3x)(7 + 3x)

 

 

d)   Pascalin kolmion avulla

 

 

Esim.        a3 - 3a2 + 3a - 1 = a3 + 3a2×(-1) + 3a×(-1)2 + (-1)3

            

 = [a + (-1)]3 = (a - 1)3

 

 

e)   toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin polynomin nollakohtien avulla

 

Jos yhtälön ax2 + bx + c = 0 ratkaisut ovat x1 ja x2, niin

 

ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)   .

 

 

 

Tekstikehys:

 

 

 

 

 

 

 

Esim. 1

 

Jaettaessa tekijöihin polynomia 2x2 - 4x - 6 ratkaistaan yhtälö

2x2 - 4x - 6 = 0.

 

 

 

Ratkaisujen 3 ja –1 avulla saadaan:

 

 

(Tarkistuksen voi suorittaa tekemällä kertolaskun, jolloin saadaan alkuperäinen polynomi.)

 

Esim. 2   Jaa tekijöihin polynomi –3x2 + 6x - 3 .

 

Ratkaistaan yhtälö –3x2 + 6x - 3 = 0 .

 

 

Tällä kertaa yhtälöllä on vain yksi ratkaisu, ts. x1 = x2 = 1 .

 

-3x2 + 6x - 3 = -3(x - 1)(x - 1)

 

 

(Huom.  Jos toisen asteen yhtälöllä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa, niin vastaavaa polynomia ei voida jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin.)

 

 

5.   POLYNOMIEN JAKOLASKU

 

5.1   JAOLLISUUS

 

Polynomi P(x) on jaollinen polynomilla Q(x), jos  , missä R(x) on polynomi.

 

Esim.   Polynomi x2-9 on jaollinen polynomilla x+3, koska

 

 

 

Jos polynomi P(x) ei ole jaollinen polynomilla Q(x), niin saadaan

 

 , missä S(x) on jakojäännös.

 

Esim.

 

 

Jakaminen voidaan suorittaa jakokulmassa. Jakojäännökseksi jää 1.

 

 

5.2   MONOMIN JAKAMINEN MONOMILLA

 

Esim. 1

 

                (Supistetaan 5:llä, a:lla ja b:llä.)

 

Esim. 2

 

           (Supistetaan 7:llä, x4:llä ja y:llä.)

 

 

5.3   USEAMPITERMISEN POLYNOMIN JAKAMINEN MONOMILLA

 

Jakaminen suoritetaan siten, että jokainen polynomin termeistä jaetaan monomilla.

 

Esim.

 

 

 

Jaettavana oleva polynomi voidaan myös ensin kirjoittaa tulomuotoon. Sen jälkeen lauseke sievennetään supistamalla.

 

Esim.

 

 

 

5.4   JAKAJANA USEAMPITERMINEN POLYNOMI

 

a)  Tekijöihin jakaminen ja sieventäminen supistamalla

 

Esim.

 

 

 

b)  Jakokulmassa jakaminen

 

Esim. 1   Jaa polynomi x2 - 4x - 5 polynomilla x + 1.

 

 

Osamäärän ensimmäinen termi saadaan jakamalla jaettavan ensimmäinen termi x2 jakajan ensimmäisellä termillä x. Tulokseksi saadaan x. Kerrotaan tällä jakaja x+1 ja kirjoitetaan saatu polynomi x2+x jaettavan alle ja vähennetään se jaettavasta (lisätään vastapolynomi -x2-x).

 

Osamäärän toinen termi saadaan jakamalla jakojäännöksen ensimmäinen termi –5x jakajan ensimmäisellä termillä x. Tulokseksi saadaan –5. Jatketaan kuten edellä.

 

Jakojäännökseksi tulee 0, joten jako meni tasan. Polynomi x2-4x-5 on jaollinen polynomilla x+1. Jakolaskun tulos on x-5. Polynomi x2-4x-5 voidaan esittää tekijöiden tulona (x+1)(x-5).

 

 

Esim. 2    Jaa polynomi 2x3 - x + 1 polynomilla x - 2.

 

Tällä kertaa jaettavasta puuttuu toisen asteen termi ja kirjoitettaessa polynomia jakokulmaan jätetään siihen kohtaan tyhjä tila. (Jakolaskun edetessä alemmille riveille tulee toisen asteen termejä.)

 

 

Jako ei mennyt tasan. Jakojäännös on 15.

 

 

 

 

POLYNOMIT / TEORIA